有限数学示例

$\log_{2} (3 x + 1) - \log_{2} (x + 2) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (9 x - 4) - \log_{2} (x)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) + 2 = \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x})$

解题步骤 3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2}) - \log_{2} (\frac{9 x - 4}{x}) = - 2$

解题步骤 4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{2} (\frac{\frac{3 x + 1}{x + 2}}{\frac{9 x - 4}{x}}) = - 2$

解题步骤 5

将分子乘以分母的倒数。

$\log_{2} (\frac{3 x + 1}{x + 2} \cdot \frac{x}{9 x - 4}) = - 2$

解题步骤 6

将 $\frac{3 x + 1}{x + 2}$ 乘以 $\frac{x}{9 x - 4}$ 。

$\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

解题步骤 7

将 $\log_{2} (\frac{(3 x + 1) x}{(x + 2) (9 x - 4)})$ 中的因式重新排序。

$\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$

解题步骤 8

利用对数的定义将 $\log_{2} (\frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}) = - 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$2^{- 2} = \frac{x (3 x + 1)}{(x + 2) (9 x - 4)}$

解题步骤 9

交叉相乘以去掉分数。

$x (3 x + 1) = 2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$

解题步骤 10

化简 $2^{- 2} ((x + 2) (9 x - 4))$ 。

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解题步骤 10.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{2^{2}} ((x + 2) (9 x - 4))$

解题步骤 10.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} ((x + 2) (9 x - 4))$

解题步骤 10.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (9 x - 4)$ 。

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解题步骤 10.3.1

运用分配律。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x - 4) + 2 (9 x - 4))$

解题步骤 10.3.2

运用分配律。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x - 4))$

解题步骤 10.3.3

运用分配律。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (x (9 x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

解题步骤 10.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 10.4.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x \cdot x + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

解题步骤 10.4.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 10.4.1.2.1

移动 $x$ 。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 (x \cdot x) + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

解题步骤 10.4.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + x \cdot - 4 + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

解题步骤 10.4.1.3

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 \cdot x + 2 (9 x) + 2 \cdot - 4)$

解题步骤 10.4.1.4

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x + 2 \cdot - 4)$

解题步骤 10.4.1.5

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} - 4 x + 18 x - 8)$

解题步骤 10.4.2

将 $- 4 x$ 和 $18 x$ 相加。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2} + 14 x - 8)$

解题步骤 10.5

运用分配律。

$x (3 x + 1) = \frac{1}{4} (9 x^{2}) + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

解题步骤 10.6

化简。

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解题步骤 10.6.1

乘以 $\frac{1}{4} (9 x^{2})$ 。

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解题步骤 10.6.1.1

组合 $9$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$x (3 x + 1) = \frac{9}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

解题步骤 10.6.1.2

组合 $\frac{9}{4}$ 和 $x^{2}$ 。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

解题步骤 10.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.6.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (14 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

解题步骤 10.6.2.2

从 $14 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

解题步骤 10.6.2.3

约去公因数。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

解题步骤 10.6.2.4

重写表达式。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (7 x) + \frac{1}{4} \cdot - 8$

解题步骤 10.6.3

组合 $7$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7}{2} x + \frac{1}{4} \cdot - 8$

解题步骤 10.6.4

组合 $\frac{7}{2}$ 和 $x$ 。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot - 8$

解题步骤 10.6.5

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 10.6.5.1

从 $- 8$ 中分解出因数 $4$ 。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 (- 2))$

解题步骤 10.6.5.2

约去公因数。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 2)$

解题步骤 10.6.5.3

重写表达式。

$x (3 x + 1) = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{7 x}{2} - 2$

解题步骤 11

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 11.1

从等式两边同时减去 $\frac{9 x^{2}}{4}$ 。

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} = \frac{7 x}{2} - 2$

解题步骤 11.2

从等式两边同时减去 $\frac{7 x}{2}$ 。

$x (3 x + 1) - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

解题步骤 11.3

化简每一项。

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解题步骤 11.3.1

运用分配律。

$x (3 x) + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

解题步骤 11.3.2

使用乘法的交换性质重写。

$3 x \cdot x + x \cdot 1 - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

解题步骤 11.3.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$3 x \cdot x + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

解题步骤 11.3.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 11.3.4.1

移动 $x$ 。

$3 (x \cdot x) + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

解题步骤 11.3.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 x^{2} + x - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

解题步骤 11.4

要将 $3 x^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x + 3 x^{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

解题步骤 11.5

组合 $3 x^{2}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4}{4} - \frac{9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

解题步骤 11.6

在公分母上合并分子。

$x + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

解题步骤 11.7

求公分母。

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解题步骤 11.7.1

将 $x$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{x}{1} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

解题步骤 11.7.2

将 $\frac{x}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

解题步骤 11.7.3

将 $\frac{x}{1}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x}{2} = - 2$

解题步骤 11.7.4

将 $\frac{7 x}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - (\frac{7 x}{2} \cdot \frac{2}{2}) = - 2$

解题步骤 11.7.5

将 $\frac{7 x}{2}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{2 \cdot 2} = - 2$

解题步骤 11.7.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x \cdot 4}{4} + \frac{3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2}}{4} - \frac{7 x \cdot 2}{4} = - 2$

解题步骤 11.8

在公分母上合并分子。

$\frac{x \cdot 4 + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

解题步骤 11.9

化简每一项。

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解题步骤 11.9.1

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot x + 3 x^{2} \cdot 4 - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

解题步骤 11.9.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 7 x \cdot 2}{4} = - 2$

解题步骤 11.9.3

将 $2$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{4 x + 12 x^{2} - 9 x^{2} - 14 x}{4} = - 2$

解题步骤 11.10

从 $4 x$ 中减去 $14 x$ 。

$\frac{12 x^{2} - 9 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

解题步骤 11.11

从 $12 x^{2}$ 中减去 $9 x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2} - 10 x}{4} = - 2$

解题步骤 11.12

从 $3 x^{2} - 10 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 11.12.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x) - 10 x}{4} = - 2$

解题步骤 11.12.2

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 10}{4} = - 2$

解题步骤 11.12.3

从 $x (3 x) + x \cdot - 10$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x - 10)}{4} = - 2$

解题步骤 12

两边同时乘以 $4$ 。

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

化简左边。

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解题步骤 13.1.1

化简 $\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4$ 。

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解题步骤 13.1.1.1

化简项。

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解题步骤 13.1.1.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1.1.1.1

约去公因数。

$\frac{x (3 x - 10)}{4} \cdot 4 = - 2 \cdot 4$

解题步骤 13.1.1.1.1.2

重写表达式。

$x (3 x - 10) = - 2 \cdot 4$

解题步骤 13.1.1.1.2

运用分配律。

$x (3 x) + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

解题步骤 13.1.1.1.3

重新排序。

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解题步骤 13.1.1.1.3.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 x \cdot x + x \cdot - 10 = - 2 \cdot 4$

解题步骤 13.1.1.1.3.2

将 $- 10$ 移到 $x$ 的左侧。

$3 x \cdot x - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

解题步骤 13.1.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 13.1.1.2.1

移动 $x$ 。

$3 (x \cdot x) - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

解题步骤 13.1.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$3 x^{2} - 10 \cdot x = - 2 \cdot 4$

$3 x^{2} - 10 x = - 2 \cdot 4$

解题步骤 13.2

化简右边。

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解题步骤 13.2.1

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$3 x^{2} - 10 x = - 8$

解题步骤 14

求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

解题步骤 14.2

分组因式分解。

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解题步骤 14.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ 并且它们的和为 $b = - 10$ 。

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解题步骤 14.2.1.1

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $- 10$ 。

$3 x^{2} - 10 x + 8 = 0$

解题步骤 14.2.1.2

把 $- 10$ 重写为 $- 4$ 加 $- 6$

$3 x^{2} + (- 4 - 6) x + 8 = 0$

解题步骤 14.2.1.3

运用分配律。

$3 x^{2} - 4 x - 6 x + 8 = 0$

解题步骤 14.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 14.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x^{2} - 4 x) - 6 x + 8 = 0$

解题步骤 14.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (3 x - 4) - 2 (3 x - 4) = 0$

解题步骤 14.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 4$ 来因式分解多项式。

$(3 x - 4) (x - 2) = 0$

解题步骤 14.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 14.4

将 $3 x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 14.4.1

将 $3 x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 4 = 0$

解题步骤 14.4.2

求解 $x$ 的 $3 x - 4 = 0$ 。

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解题步骤 14.4.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$3 x = 4$

解题步骤 14.4.2.2

将 $3 x = 4$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 14.4.2.2.1

将 $3 x = 4$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

解题步骤 14.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 14.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 14.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

解题步骤 14.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{4}{3}$

解题步骤 14.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 14.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 14.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 14.6

最终解为使 $(3 x - 4) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{4}{3}, 2$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{4}{3}, 2$

小数形式：

$x = 1.\overline{3}, 2$

带分数形式：

$x = 1 \frac{1}{3}, 2$

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